Spás méadrach

Is é is spás méadrach ann ná tacar neamhfholamh X ar a bhfuil méadrach $d:X\times X\rightarrow \mathbb {R}$. Is sórt fad é an luach $d(x,y)$ idir na pointí $x$ agus $y$. Ní bheidh $d$ ina mheithreach muna bhfuil na hairíonna seo a leanas ag gach $x,y,z\in X$:

1. $d(x,y)\geq 0$ ,
2. $d(x,y)=0\,$ má $x=y\,$ ,
3. $d(x,y)=d(y,x)\,$ agus
4. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$     (an éagothromóid triantánach) .

Thug matamaiticeoir Francach an coincheap seo isteach i 1906. Maurice Fréchet ba ainm dó.

Má $f\colon X\rightarrow Y$, áit gur spás méadrach é $(Y,d')$ agus spás méadrach eile é $(X,d)$, is feidhm leanúnach é $f$ má shásaíonn sé an coinníoll seo a leanas ag gach $x\in X$: $d'(f(y),f(x))\rightarrow 0$ de réir $d(y,x)\rightarrow 0$. Sainítear teorainn i spásanna méadracha mar sin:

$\lim _{x\to \infty }f^{n}(x)=L.\,$.

Ciallaíonn é sin go ndruideann $d(f^{n}(x),L)$ chun $0$, de réir n → $\infty$.

Má tá $x\in X$ agus $r>0$, is é is brí leis an dtacar $B(x,r)=\{y\in X\colon d(x,y)<r\}$ ná liathróid oscailte le ga $r$ agus lár $x$.

Más fothacar $X$é $G$, is tacar oscailte é $G$ má shásaíonn sé an coinníoll seo a leanas ag gach $x\in G$: ag gach $x\in G$ tá luach $r>0$ ionas go bhfuil $B(x,r)$ ina fothacar de $G$.