Paradacsa Zeno

Tá an-cháil ar Zeno (c. 495 – c. 430 RC) a bhí ag plé le rudaí gan teorainn sa matamaitic. Bhí argóint bhunúsach aige agus an chríoch ar an argóint ná nach féidir aon slí a thaisteal. Seo mar a réasúnaigh sé.

Má theastaíonn uait seomra a fhágaint, caithfidh tú leath an tslí a shiúl i dtosach. Ansin caithfidh tú leath an tslí atá fágtha a shiúl, agus arís leath an tslí atá fós fágtha a shiúl, agus mar sin de. Ar deireadh, bíonn ort suim na bhfad uilig sin a thaisteal. Dar le Zeno, ba chóir go mbeadh an tsuim sin gan teorainn é féin. I bhfocail eile, bheadh ort fad gan teorainn a thaisteal agus ní bheifeá in ann an seomra a fhágaint.

B'shin fadhb bhunúsach ag an am. Cé go raibh a fhios ag cách gurbh fhéidir an seomra a fhágaint, cad a bhí cearr lena argóint? Cheap Aristotle féin go raibh locht i réasúnacht Zeno. Dar le Aristotle, bhí difríocht idir an infinideacht a bhí ag dul le rud éigin ag dul i méid (mar shampla n→n+1) agus dé-roinnt a bheith á déanamh ar uimhir a bhí teoranta cheana féin.

I nodaireacht an lae inniu, bhí Zeno ag plé le páirt-suimeanna (partial sums)

$S_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n}}}$

Agus, tá a fhios ag daltaí meánscoile anois go bhfuil $\lim {S_{n}}(n\to \infty )=1$. Cé go bhfuil líon na gcéimeanna ag dul i méid i gcónaí, tá fad gach céim ag laghdú sách sciobtha sa chaoi go bhfuil an tsuim coinbhéirseach (convergenti mBéarla).

Ach tá an-chuid tuisceana sa mhatamaitic ag dul leis seo. Sa 17ú haois, bhí Newton agus Leibniz ag plé le rudaí rímhion (infinitesimal) agus níos déanaí ba é Dedekind a thug míniú ar theorainn a chur le sraith. Ní raibh an mhatamaitic sin ag Zeno, agus an ceacht a fhoghlaimítear as seo, ná go mb'fhéidir go mbeidh réiteach ar pharadacsaí an lae inniu sa todhchaí.

Bhí fadhb cosúil leis seo ag Grandi. Bhí seisean ag plé leis an tsraith 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... . Ag brath ar conas a chuirimid na baill le chéile, faighimid freagraí difriúla, m. sh.

$1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\ldots =1$

$(1-1)+(1-1)+(1-1)+\ldots =0$

Cé go bhfuil cuma pharadacsúil air seo, d'aontódh matamaiticeoirí na linne seo le Grandi gur sraith dhibhéirseach í seo, agus níl aon suim aici. Tá sé ait ach sin mar atá an saol.

Féach freisin

• Paradacsa