Feidhm easpónantúil

Ón Vicipéid, an chiclipéid shaor.
An feidhm easpónantúil nádúrtha: y = e^{x}

Sa mhatamaitic, is é is feidhm easpónantúil ann ná feidhm ina bhfuil an athróg ina heaspónant, mar shampla, 5^{x}. Feidhm easpónantúil thábhachtach is ea y = e^{x} a bhfuil mar airí aici, \frac{dy}{dx}=e^{x}. Mar sin, tá ráta fáis e^{x} i gcomhréir bheacht lena mhéid. De réir mar a fhásann y, is amhlaidh is mó a ráta fáis, agus tugtar fás easpónantúil nó scaoilte ar a leithéid. Ina fhoirm ghinearálta, y = Ae^{kx}, samhlaíonn an slonn seo próisis fhisiciúla cosúil le dlíthe an fháis (k dearfach) is an mheata (k diúltach), díluchtú toilleora agus meath radaighníomhach. Is í seo an tsraith easpónantúil:  e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots Is féidir na feidhmeanna triantánacha a shainmhíníu i dtéarmaí easpónant mar seo: \sin{x} = \frac{1}{2}i(e^{ix} + e^{-ix}), agus \cos{x} = \frac{1}{2}(e^{ix} + e^{-ix}). Chruthaigh Euler an toradh suntasach e^{i\pi} + 1 =0.