Fallás matamaitice

Tugtar fallás matamaitice ar pharadacsa nach bhfuil trioblóideach mar nach bhfuil i gceist ach briseadh rialach simplí ar bhealach neamhchonspóideach, agus nuair a thuigtear é sin bíonn réiteach ann. Is ábhar maith foghlamtha iad.

1=2

${\begin{array}{ccc}x&=&1\\x^{2}&=&x\\x^{2}-1&=&x-1\\(x+1)(x-1)&=&x-1\\x+1&=&1\\2&=&1\end{array}}$
Anseo roinneadh an dá thaobh den chothromóid ar (x-1), a bhfuil cothrom le náid ón gcéad líne. Ní cheadaítear sin faoi na rialacha. Agus leanann seafóid.

1=2

${\begin{array}{ccc}\cos ^{2}x&=&1-\sin ^{2}x\\\left(\cos ^{2}x\right)^{\frac {3}{2}}&=&\left(1-\sin ^{2}x\right)^{\frac {3}{2}}\\\cos ^{3}x&=&\left(1-\sin ^{2}x\right)^{\frac {3}{2}}\\\cos ^{3}x+3&=&\left(1-\sin ^{2}x\right)^{\frac {3}{2}}+3\\\left(\cos ^{3}x+3\right)^{2}&=&\left(\left(1-\sin ^{2}x\right)^{\frac {3}{2}}+3\right)^{2}\end{array}}$
Nuair atá x = $\pi$/2, bíonn cos(x)=0 agus sin(x)=1. An luach don líne deiridh ná 9=9, a bhfuil ceart. Ach tá deacrachtaí ann nuair a chuirtear x = $\pi$;. Anois tá cos(x)=-1 agus sin(x)=0. Ag cur na luachanna sin sa líne deiridh, faightear $2^{2}=4^{2}$, nó 1=2. Tá sé go mór faoi cheilt anseo ach táimid ag tógaint fréamhacha cearnacha agus caithimid idirdhealú a dhéanamh idir an fhréamh dheimhneach agus an fhréamh dhiúltach.

1= -1

${\begin{array}{ccc}{\sqrt {-1}}&=&{\sqrt {-1}}\\{\sqrt {\frac {1}{-1}}}&=&{\sqrt {\frac {-1}{1}}}\\{\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}&=&{\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}\\{\sqrt {1}}\,.\,{\sqrt {1}}&=&{\sqrt {-1}}\,.\,{\sqrt {-1}}\\1&=&-1\\\end{array}}$

Tá difear idir na rialacha do uimhreacha choimpléascacha agus do réaduimhreacha. Tá sé níos fearr $i\!$ a úsáid in áit ${\sqrt {-1}}$ agus $i^{2}\!=-1$.

Tagairtí

• Riddles in Mathematics, Eugene P. Northrop, Penguin 1944