Paradacsa Zeno

Ón Vicipéid, an chiclipéid shaor.

Paradacsa Zeno. Tá an-cháil ar Zeno (timpeall 300 RC) a bhí ag plé le rudaí gan teorann. Bhí argóint bunúsach aige agus an chríoch air ná nach féidir aon slí a thaisteal. Seo mar a réasúnaigh sé.

Má theastaíonn uait an seomra a fhágaint caithfidh tú leath an tslí a shiúl i dtosach. Ansin caithfidh tú leath an tslí atá fágtha a shiúil, agus arís leath an tslí atá fós fágtha a shiúil. Agus mar sin de. Ar deireadh bíonn ort suim na faid uilig sin a thaisteal. Dar le Zeno, ba cóir go mbeadh an suim (gan teorann) sin de faid, gan teorann é féin. I bhfocail eile, bheadh ort fad gan teorann a thaisteal agus ní bheithfeá in ann an seomra a fhágaint.

B'shin fadhb bunúsach ag an am. Cé go raibh fhios ag cách gurbh fhéidir an seomra a fhágaint, cad a bhí cearr lena argóint. Cheap Aristotle féin, go raibh locht i réasúnacht Zeno. Dar le Aristotle bhí difríocht idir an infinideach a bhí ag dul le rud éigin ag dul i méid (mar shampla n+1) agus dé-roinnt a bheith á dhéanamh ar fad a bhí teoranta cheanna féin.

In nodaireacht an lae inniu, bhí Zeno ag plé le páirt-suimeanna (partial sums)

S_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}+\frac{1}{8} +\frac{1}{16} + \ldots  + \frac{1}{2^n}

Agus, tá 'fhios' ag an dalta meánscoile anois go bhfuil \lim{S_n} (n\to\infty)=1. Cé go bhfuil an uimhir de chéimeanna ag dul i méid i gcónaí, tá fad gach céim ag laghdú níos tapúla ná mar atá an méid céimeanna ag dul in airde. Sé sin tá an suim coinbhéirseach (convergent).

Ach tá an-chuid tuiscint sa mhatamaitic ag dul le seo. Thart ar na 1600's bhí Newton agus Leibniz ag plé le rudaí rímhion (infinitesimal) agus is é Dedekind a thug míniú ar teorainn a chur le sraith. Ní raibh an mhatamaitic sin ag Zeno, agus an cheacht a fhoghlaimítear as seo, ná go mb'fhéidir go mbeidh réiteach ar pharadacsa an lae inniu sa todhchaí.

Bhí fadhb, cosúil ar shlí, ag Grandi. Bhí seisean ag plé leis an tsraith 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... . Ag brath ar chonas a chuirimid na baill le chéile, faighimid freagraí difriúla, m. sh.

1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + \ldots  = 1
(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \ldots = 0

Cé go bhfuil cuma paradacsa anseo, aontógh matamaiticeoir na linne seo le Grandi. Is sraith dibhéirseach agus níl aon suim aige. Tá sé ait ach sin mar atá an saol.

Féach freisin[athraigh | edit source]