Feidhm easpónantúil

An feidhm easpónantúil nádúrtha: $y=e^{x}$

Sa mhatamaitic, is é is feidhm easpónantúil ann ná feidhm ina bhfuil an athróg ina heaspónant, mar shampla, $5^{x}$. Feidhm easpónantúil thábhachtach is ea $y=e^{x}$ a bhfuil mar airí aici, ${\frac {dy}{dx}}=e^{x}$. Mar sin, tá ráta fáis $e^{x}$ i gcomhréir bheacht lena mhéid. De réir mar a fhásann $y$, is amhlaidh is mó a ráta fáis, agus tugtar fás easpónantúil nó scaoilte ar a leithéid. Ina fhoirm ghinearálta, $y=Ae^{kx}$, samhlaíonn an slonn seo próisis fhisiciúla cosúil le dlíthe an fháis (k dearfach) is an mheata (k diúltach), díluchtú toilleora agus meath radaighníomhach. Is í seo an tsraith easpónantúil: $e^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\dots$ Is féidir na feidhmeanna triantánacha a shainmhíníu i dtéarmaí easpónant mar seo: $\sin {x}={\frac {1}{2}}i(e^{ix}+e^{-ix})$, agus $\cos {x}={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})$. Chruthaigh Euler an toradh suntasach $e^{i\pi }+1=0$.